Arboreal forcing notions and regularity properties of the real line

Die Arbeit befasst sich mit dem Studium von Regularitätseigenschaften der reellen Zahlen. Der Begriff Regularität wird, dank Verwendung von sogenannten arboreal forcings allgemein eingeführt. Insbesondere fokussieren wir uns auf die Frage der Trennung verschiedener Regularitätseigenschaften. Genauergesagt, falls P, Q arboreal forcings sind, konstruieren wir ein Modell indem sämtliche Teilmengen der reellen Zahlen P-messbar sind, aber zugleich eine Menge existiert, die nicht Q-messbar ist. Mit ähnlichen Mitteln werden auch Aussagen in der zweiten Ebene der projektiven Hierarchie untersucht. Schliesslich betrachten wir noch einige Fragen bezüglich Mass und Kategorie im verallgemeinerten Cantor Raum. Wir führen einen neuen Begriff für Mass in diesem Raum ein, der es uns erlaubt analoge Begriffe für Messbarkeit und überabzählbares random forcing zu entwickeln.The paper is centered around the study of regularity properties of the real line. The notion of regularity is presented in a rather general way, by using arboreal forcings. In particular, we focus on questions concerning the separation of different regularity properties. More precisely, in some cases, given P, Q arboreal forcings, we construct a model where all sets of reals are P-measurable and a non-Q-measurable set exists. A similar work is done for statements concerning the 2nd level of projective hierarchy. Finally, we also deal with questions about measure and category for the generalized Cantor space. In particular, we introduce a new notion of measure on such a space, which allows us to define the corresponding notion of measurability and the related uncountable random forcing